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E-Book - CÁLCULO NUMÉRICO
-
ISBN:
9788522498826
- Edição: 1|2015
- Editora: Atlas
R$ 102,00
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4215679
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Esta obra foi elaborada tendo em vista os conceitos do Cálculo Numérico estudados nos diversos cursos de Graduação nos quais esse componente curricular seja objeto de estudo ou simplesmente ferramenta. Assim, ao estudar zeros de funções, interpolação
Esta obra foi elaborada tendo em vista os conceitos do Cálculo Numérico estudados nos diversos cursos de Graduação nos quais esse componente curricular seja objeto de estudo ou simplesmente ferramenta. Assim, ao estudar zeros de funções, interpolação e aproximação de funções, integração numérica ou sistemas lineares, o leitor/usuário deve, antes de mais nada, conhecer as suas reais necessidades.
O estudo da Matemática Computacional pode se tornar trágico se não for precedido por conhecimentos básicos sobre a Aritmética de Ponto Flutuante, principalmente sobre os erros operatórios desse sistema operacional, e por isso o capítulo inicial é dedicado a esse estudo. Cada método aqui estudado está acompanhado pelo respectivo algoritmo, em Português Estruturado, e por planilhas.
Os algoritmos, bastante detalhados, facilitam muito a implementação dos métodos em qualquer linguagem de programação que o leitor conheça. Sem dúvida, essa implementação é que torna os objetivos do Cálculo Numérico totalmente realizados, no entanto, devido principalmente aos custos das licenças, muitos estudantes não têm acesso a essas linguagens fora do ambiente acadêmico, e, neste caso, as planilhas tornam a prática mais fácil e eficiente.
Com o objetivo de tornar a prática dos métodos e suas dificuldades presente, os exemplos utilizados foram cuidadosamente elaborados. Destinado a bibliografia básica, ao contemplar as respostas de todos os exercícios propostos, este livro, ao mesmo tempo que minimiza o fazer do docente na preparação de atividades extraclasse, permite que os discentes acompanhem o próprio desempenho nessas atividades.
Obra indispensável para as disciplinas Cálculo Numérico e Análise Numérica dos cursos de Graduação em Matemática, Física, Ciência da Computação e Engenharias.
Apresentação, ix
Introdução, 1
1 Erros, 7
1.1 Erros absolutos e relativos, 9
1.2 Erros nas operações, 10
1.2.1 Adição, 11
1.2.2 Subtração, 11
1.2.3 Multiplicação, 12
1.2.4 Divisão, 12
1.3 Mais um pouco sobre erro de arredondamento, 15
1.4 Erros na mudança da base, 17
1.4.1 Base binária, 17
1.4.2 Base decimal, 18
1.4.3 Mudança de base binária para a base decimal, 18
1.4.4 Mudança de base decimal para a base binária, 18
1.4.4.1 Número na base decimal tem somente a parte inteira, 18
1.4.4.2 Número na base decimal tem somente a parte fracionária, 19
1.5 Erros de representação, 21
Exercícios propostos 1, 23
2 Zeros de Funções Reais, 24
2.1 Etapa 1: Isolamento das raízes, 25
2.2 Etapa 2: Refinamento, 27
2.2.1 Critérios de parada, 27
2.2.2 Método da bisseção, 30
2.2.3 Método da falsa posição, 34
2.2.4 Método do ponto fixo, 40
2.2.4.1 Critérios de parada, 46
2.2.5 Método de Newton, 49
2.2.6 Método das secantes, 55
2.3 Zeros de funções reais via planilhas, 61
2.3.1 Isolamento das raízes, 61
2.3.2 Método da bisseção, 63
2.3.3 Método da falsa posição, 65
2.3.4 Método do ponto fixo, 66
2.3.5 Método de Newton, 68
2.3.6 Método das secantes, 69
Exercícios propostos 2, 71
3 Interpolação, 72
3.1 Interpolação polinomial, 72
3.2 Forma de Lagrange, 74
3.3 O erro na interpolação polinomial, 77
3.3.1 Um limitante para o erro, 80
3.3.2 Um limitante para o erro para pontos igualmente espaçados, 82
3.4 Alguns comentários sobre a interpolação, 86
3.5 Interpolação via planilhas, 94
3.5.1 Forma de Lagrange para dois pontos, 95
3.5.2 Forma de Lagrange para três pontos, 96
Exercícios propostos 3, 99
4 Integração Numérica, 101
4.1 Regra dos trapézios, 102
4.2 Regra 1/3 de Simpson, 108
4.3 Integração via planilhas, 110
Exercícios propostos 4, 113
5 Aproximação de Funções – Método dos Mínimos Quadrados, 114
5.1 Regressão linear, 114
5.2 Caso geral, 120
5.2.1 Domínio discreto, 120
5.2.2 Domínio contínuo, 124
Exercícios propostos 5, 128
6 Resolução de Sistemas Lineares, 129
6.1 Introdução, 129
6.2 Métodos diretos, 137
6.2.1 Resolução de sistemas lineares triangulares, 137
6.2.2 Método da eliminação de Gauss, 139
6.2.3 Método da decomposição LU, 150
6.2.3.1 Decomposição da matriz A em LU, 152
6.2.4 Processo de Cholesky, 157
6.2.4.1 Decomposição da matriz A em GGT, 158
6.2.5 A prova real, 164
6.2.5.1 O determinante na prova real, 169
6.3 Métodos iterativos, 172
6.3.1 Algumas definições preliminares, 175
6.3.2
Introdução, 1
1 Erros, 7
1.1 Erros absolutos e relativos, 9
1.2 Erros nas operações, 10
1.2.1 Adição, 11
1.2.2 Subtração, 11
1.2.3 Multiplicação, 12
1.2.4 Divisão, 12
1.3 Mais um pouco sobre erro de arredondamento, 15
1.4 Erros na mudança da base, 17
1.4.1 Base binária, 17
1.4.2 Base decimal, 18
1.4.3 Mudança de base binária para a base decimal, 18
1.4.4 Mudança de base decimal para a base binária, 18
1.4.4.1 Número na base decimal tem somente a parte inteira, 18
1.4.4.2 Número na base decimal tem somente a parte fracionária, 19
1.5 Erros de representação, 21
Exercícios propostos 1, 23
2 Zeros de Funções Reais, 24
2.1 Etapa 1: Isolamento das raízes, 25
2.2 Etapa 2: Refinamento, 27
2.2.1 Critérios de parada, 27
2.2.2 Método da bisseção, 30
2.2.3 Método da falsa posição, 34
2.2.4 Método do ponto fixo, 40
2.2.4.1 Critérios de parada, 46
2.2.5 Método de Newton, 49
2.2.6 Método das secantes, 55
2.3 Zeros de funções reais via planilhas, 61
2.3.1 Isolamento das raízes, 61
2.3.2 Método da bisseção, 63
2.3.3 Método da falsa posição, 65
2.3.4 Método do ponto fixo, 66
2.3.5 Método de Newton, 68
2.3.6 Método das secantes, 69
Exercícios propostos 2, 71
3 Interpolação, 72
3.1 Interpolação polinomial, 72
3.2 Forma de Lagrange, 74
3.3 O erro na interpolação polinomial, 77
3.3.1 Um limitante para o erro, 80
3.3.2 Um limitante para o erro para pontos igualmente espaçados, 82
3.4 Alguns comentários sobre a interpolação, 86
3.5 Interpolação via planilhas, 94
3.5.1 Forma de Lagrange para dois pontos, 95
3.5.2 Forma de Lagrange para três pontos, 96
Exercícios propostos 3, 99
4 Integração Numérica, 101
4.1 Regra dos trapézios, 102
4.2 Regra 1/3 de Simpson, 108
4.3 Integração via planilhas, 110
Exercícios propostos 4, 113
5 Aproximação de Funções – Método dos Mínimos Quadrados, 114
5.1 Regressão linear, 114
5.2 Caso geral, 120
5.2.1 Domínio discreto, 120
5.2.2 Domínio contínuo, 124
Exercícios propostos 5, 128
6 Resolução de Sistemas Lineares, 129
6.1 Introdução, 129
6.2 Métodos diretos, 137
6.2.1 Resolução de sistemas lineares triangulares, 137
6.2.2 Método da eliminação de Gauss, 139
6.2.3 Método da decomposição LU, 150
6.2.3.1 Decomposição da matriz A em LU, 152
6.2.4 Processo de Cholesky, 157
6.2.4.1 Decomposição da matriz A em GGT, 158
6.2.5 A prova real, 164
6.2.5.1 O determinante na prova real, 169
6.3 Métodos iterativos, 172
6.3.1 Algumas definições preliminares, 175
6.3.2
Augusto de Abreu Pires
Graduado em Matemática pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) Mestre em Ciências de Computação e Matemática Computacional pela Universidade de São Paulo (USP) Leciona, desde 1995, na Universidade de Sorocaba (Uniso) e na Universidade Paulista (Unip) Foi coordenador do curso de Matemática da Universidade de Sorocaba entre 2003 e 2010 Atualmente coordena a Comissão Própria de Avaliação CPAUniso
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